Shapiro-Wilk normality test
data: x
W = 0.99811, p-value = 0.3298Analiza korelacji
Statystyczne i graficzne podstawy geowizualizacji
Anna Dmowska, dmowska@amu.edu.pl
Analiza korelacji
Analiza korelacji służy do określenia
- czy między badanymi zmiennymi występuje związek? Czy te zależności są istotne statystycznie?
- Jak silny jest związek między zmiennymi?
- Jaki jest kierunek zależności?
Wyniki analizy korelacji graficznie prezentuje się na wykresie rozrzutu.
Analiza korelacji
Miarą korelacji jest współczynnik korelacji.
Współczynnik korelacji dostarcza informacji o tym jaka jest siła związku (wartość współczynnika) oraz jaki jest kierunek związku (znak wspólczynnika korelacji). Obliczany współczynnik zawsze waha się od -1 do 1.
Najczęściej stosowane współczynniki korelacji to współczynnik korelacji Pearsona oraz współczynnik korelacji rang Spearmana.
Analiza korelacji
Analiza korelacji
Liczba piratów maleje a temperatura rośnie
Źródło: wikipedia
Analiza korelacji
Źródło: https://tylervigen.com/
Analiza korelacji
Przykłady korelacji zestawione przez Tyler Vigen: https://www.tylervigen.com/spurious-correlations
Analiza korelacji
Źródło: http://xkcd.com
Analiza korelacji
Correlation does not imply causation
Korelacja nie wskazuje na istnienie związku przyczynowo-skutkowego a po prostu związek/współwystępowanie dwóch zmiennych. Innymi słowy: Istnienie korelacji liczbowej nie potwierdza, że jedno zjawisko powoduje drugie.
- A może powodować B
- B może powodować A
- A lub B może być wywołane przez C
- Zależność między A i B może być przypadkowa
Analiza korelacji
- Wartość współczynnika korelacji nawet bliska 0 nie zawsze oznacza brak zależności. Może oznaczać jedynie brak zależności liniowej.
Źródło: wikipedia
Analiza korelacji
- Wielkość współczynnika podlega wpływom wartości skrajnych i odstających.
Analiza korelacji
Najważniejsza jest isotność korelacji. Niepotrzebna nam korelacja nawet bardzo wysoka, jeśli nie jest istotna statystycznie.
Dla każdego współczynnika korelacji należy także obliczyć jego istotność statystyczną, stosujac jeden z testów istotności przeznaczonych dla współczynników korelacji.
- Hipoteza zerowa: ρ x,y=0
- Hipoteza alternatywna: ρ x,y≠0 lub ρ x,y<0 lub ρ x,y>0
Współczynnik korelacji
| Współczynnik korelacji Pearsona | Współczynnik korelacji rang Spearmana |
|---|---|
| zmienne ilościowe | zmienne o charakterze porządkowym |
| rozkład normalny lub zbliżony do normalnego | bardzo silnie skośne rozkłady |
| brak wartości nietypowych/odstających | obecność wielu obserwacji odstających |
| zależność liniowa | dowolny typ zależności |
Korelacja liniowa
Miarą korelacji liniowej jest współczynnik korelacji Pearsona.
Współczynniki korelacji przyjmują wartości z przedziału od -1,00 do +1,00.
Wartość -1,00 - reprezentuje doskonałą korelację ujemną (współzależność pomiędzy zmiennymi kształtująca się w taki sposób, że gdy wartości jednej zmiennej wykazują tendencję rosnącą, wówczas wartości drugiej zmiennej wykazują tendencję malejącą)
wartość +1,00 - reprezentuje doskonałą korelacją dodatnią (współzależność pomiędzy zmiennymi przedstawia się w taki sposób, że gdy wartości jednej zmiennej wykazują tendencję wzrastającą, wówczas wartości drugiej zmiennej także wykazują tendencję wzrastającą).
Wartość 0.00 wyraża brak korelacji.
Współczynnik korelacji Pearsona
- Jak obliczamy współczynnik korelacji Pearsona? https://statystyczny.pl/wspolczynnik-korelacji-pearsona-w-przykladach/
\[r = \frac{\sum(x - m_{x})(y - m_{y})}{\sqrt{\sum(x - m_{x})^2\sum(y - m_{y})^2}}\] gdzie x, y to wartości zmiennej, a \(m_x, m_y\) to średnie wartości zmiennej x oraz y.
- Współczynnik korelacji Perasona nie ma sensownej interpretacji dla zmiennych na skali porządkowej, gdyż uzależniony jest od różnic między wartościami zmiennych, które dla cech porządkowych nie są określone.
Współczynnik korelacji Pearsona
Zgadnij wartość współczynnika korelacji - https://gallery.shinyapps.io/correlation_game/
Jak silna jest korelacja?
Do opisu i interpretacji istotnej korelacji pomocne może być przyjęcie pewnej skali określającą siłę związku. Nie ma jednej przyjętej skali. Jedna ze skal wskazuje:
- 0 - brak korelacji
- 0,1 do 0,3 - słaba korelacja
- 0,3 do 0,5 - przeciętna korelacja
- 0,5 do 0,7 - korelacja wysoka
- 0,7 do 0,9 - korelacja bardzo wysoka
- 0,9 do 1 - korelacja prawie pełna
Współczynnik korelacji rang Spearmana
rodzaj korelacji nieparametrycznej, która oparta jest na rangach
- każda obserwacja jest rangowana, następnie korelowane są ze sobą rangi, a nie wartości “surowe”
zależy wyłącznie od uporządkowania zaobserwowanych wartości. Może zatem być stosowany do dowolnych zmiennych, których wartości można uporządkować rosnąco.
stosowany gdy zmienne są zmierzone na skali porządkowej lub nie mają rozkładu normalnego
w niewielkim stopniu wrażliwy na obserwacje odstające
Współczynnik korelacji rang Spearmana
\[rho = \frac{\sum(x' - m_{x'})(y' - m_{y'})}{\sqrt{\sum(x' - m_{x'})^2\sum(y' - m_{y'})^2}}\] gdzie \(x'\) to ranga x, a \(y'\) to ranga y.
Testy korelacji
test korelacji liniowej Pearsona
- stosowany gdy zmienne mają zależnośc liniową
- zmienne mają rozkład normalny
test korelacji rang Spearman
- stosowany gdy naruszone jest założenie o normalności rozkładu (np. gdy istnieją wartości odstające)
Testy korelacji
test korelacji liniowej Pearsona
- stosowany gdy zmienne mają zależnośc liniową
- zmienne mają rozkład normalny
test korelacji rang Spearman
- stosowany gdy naruszone jest założenie o normalności rozkładu (np. gdy istnieją wartości odstające)
Przykład 1: Korelacja liniowa
Przykład 1: Korelacja liniowa
- Zbadanie normalności rozkładu
Przykład 1: Korelacja liniowa
Zbadanie normalności rozkładu z wykorzytstaniem testu Shapiro-Wilka
- Hipoteza zerowa: dane mają rozkład normalny
- Hipoteza alternatywna: dane nie mają rozkładu normalnego
- Intepretacja: p-value powyżej 0.05 wskazuje na rozkład normalny
Shapiro-Wilk normality test
data: y
W = 0.99854, p-value = 0.5832Zmienna x oraz y mają rozkład normalny.
Przykład 1: Korelacja liniowa
- współczynnik korelacji Pearsona
[1] 0.679556- Współczynnik korelacji rang Spearmana
[1] 0.6636062Przykład 1: Korelacja liniowa
- Test korelacji
Pearson's product-moment correlation
data: df$x and df$y
t = 29.263, df = 998, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.6447237 0.7115721
sample estimates:
cor
0.679556 W wyniku testu:
- p-value określa poziom istotności, jeśli p-value < 0.05 współczynnik korelacji jest istotny statystycznie
- conf.int to 95% przedział ufności, w którym mieści się prawdziwa wartość współczynnika korelacji
- sample estimates is to wartość współczynnika korelacji
Wynik testu korelacji wskazuje na istnieie istotnej korelacji między zmienną x oraz y.
Przykład 2: Współczynnik korelacji Spearmana
Przebadano 30 osób prosząc ich o określenie w skali 1 (bardzo niezadowolony) do 5 (bardzo zadowolony) poziom obsługi klienta oraz jakość sprzedawanego produktu. Czy istnieje istotna statystycznie korelacja między oceną obsługi a oceną produktu.
| obsluga | produkt |
|---|---|
| 3 | 4 |
| 3 | 2 |
| 2 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 5 |
| 4 | 3 |
Przykład 2: Współczynnik korelacji Spearmana
Przykład 2: Współczynnik korelacji Spearmana
Spearman's rank correlation rho
data: service_satisfaction and product_satisfaction
S = 828.14, p-value = 3.963e-08
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.8157631 Przykład 3: Określanie korelacji dla wielu zmiennych
| mpg | disp | hp | wt | |
|---|---|---|---|---|
| Mazda RX4 | 21.0 | 160 | 110 | 2.620 |
| Mazda RX4 Wag | 21.0 | 160 | 110 | 2.875 |
| Datsun 710 | 22.8 | 108 | 93 | 2.320 |
| Hornet 4 Drive | 21.4 | 258 | 110 | 3.215 |
| Hornet Sportabout | 18.7 | 360 | 175 | 3.440 |
| Valiant | 18.1 | 225 | 105 | 3.460 |
Macierz wykresów korelacji
Macierz wykresów korelacji: współczynnik korelacji Pearsona
Przykład 3: Jaki współczynnik korelacji wybrać?
Shapiro-Wilk normality test
data: my_data$mpg
W = 0.94756, p-value = 0.1229
Shapiro-Wilk normality test
data: my_data$wt
W = 0.94326, p-value = 0.09265
Shapiro-Wilk normality test
data: my_data$hp
W = 0.93342, p-value = 0.04881
Shapiro-Wilk normality test
data: my_data$disp
W = 0.92001, p-value = 0.02081Przykład 3: Macierz wykresów korelacji
Przykład 3: Macierz wykresów korelacji
| mpg | disp | hp | wt | |
|---|---|---|---|---|
| mpg | 1.0000 | -0.9089 | -0.8947 | -0.8864 |
| disp | -0.9089 | 1.0000 | 0.8510 | 0.8977 |
| hp | -0.8947 | 0.8510 | 1.0000 | 0.7747 |
| wt | -0.8864 | 0.8977 | 0.7747 | 1.0000 |
Przykład 3: Macierz współczynników korelacji
mpg disp hp wt
mpg 1.00 -0.91 -0.89 -0.89
disp -0.91 1.00 0.85 0.90
hp -0.89 0.85 1.00 0.77
wt -0.89 0.90 0.77 1.00
n= 32
P
mpg disp hp wt
mpg 0 0 0
disp 0 0 0
hp 0 0 0
wt 0 0 0 Pierwsza macierz zawiera współczynnik korelacji, druga liczbę obiektów a trzecia wartość poziomu istotności p. Wartość jest istotna statystycznie jeśli p jest mniejsze od założonego poziomu isotntości (np. 0,05)
Podsumowanie
- Co to jest analiza korelacji?
- Różnica między współczynnikiem korelacji Pearsona a współczynnikiem korelacji rang Spearmana.
- Korelacja dodatnia i korelacja ujemna