Parametry statystyczne
Parametry statystyczne to liczby służące do syntetycznego opisu struktury zbiorowości statystycznej.
![]()
Miary położenia
Miary położenia określają przeciętny poziom wartości cecy statystycznej oraz umiejscowienie typowych wartości cechy statystycznej na osi liczbowej.
Miary klasyczne to miary, których wartość jest wyznaczona w oparciu o wszystkie obserwacje.
Miary pozycyjne to miary, na których wartość wpływają tylko wybrane obserwacje z próby uporządkowanej.
![]()
Miary położenia
![]()
Miary przeciętne/miary tendencji centralnej
Wśród miar położenia można wyróżnić miary przeciętne lub inaczej miary tendencji centralnej
- Średnie
- Wartość modalna
- Mediana
charakteryzują średni lub typowy poziom wartości zmiennej; mówią zatem o przeciętnym poziomie rozważanej zmiennej.
Miary położenia: średnie
| Średnia arytmetyczna |
najczęściej wykorzystywana miara położenia |
| Średnia harmoniczna |
stosowana, gdy wartości cechy statystycznej podawane są w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, np. prędkość w km/h, gęstość zaludnienia w osobach/km2, spożycie w kg/osobę, itp. |
| Średnia geometryczna |
stosowana gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie, np. średnie tempo zmian; często odpowiednie dla wartości procentowych czy ułamkowych |
Dla każdego konkretnego przypadku powinno się obliczać tylko jedną średnią, bo tylko jedna z nich jest odpowiednia dla danej cechy statystycznej, a pozostałe nie mają sensu
Miary położenia: średnia arytmetyczna
- Najczęściej stosowana miara.
- Jej wadą jest wrażliwość na wartości odstające (ang. outliers)- tzn. pomiary, których wartość zdecydowanie odbiega od większości pozostałych.
- Obliczana na podstawie wszystkich obserwacji ze zbioru danych.
\[
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}
\]
Miary położenia: średnia arytmetyczna
Trzy scenariusze, w których średnie wynagrodzenie w firmie zatrudniającej 10 osób wynosi 5000 zł.
Scenariusz 1
\[\bar{x}_A = \frac{10*5000}{10} = \frac{50000}{10} = 5000\] Scenariusz 2
\[\bar{x}_A = \frac{500 + 8*1500 + 37500}{10} = \frac{50000}{10} = 5000\] Scenariusz 3
\[\bar{x}_A = \frac{5*3000 + 5*7000}{10} = \frac{50000}{10} = 5000\] Źródło: Blog statystyczny https://statystyczny.pl/srednio-na-jeza-czyli-srednia-arytmetyczna/
Miary położenia: średnia harmoniczna
- obliczana jako odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności wszystkich wartości z danego zbioru danych.
\[\bar{x}_H = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}}\]
- Nie możliwa do wyliczenia na danych zawierających wartości ujemne lub zero.
Miary położenia: średnia harmoniczna
Przykład:
- Woda w rzece na pierwszym odcinku przepływa 100 kilometrów z prędkością 6 km/h, a na drugim odcinku 100 kilometrów z prędkością 3,2 km/h.
Jaka jest średnia prędkość wody w tej rzece?
Średnia arytmetyczna: 4.6 - błędny wynik
Średnia harmoniczna: 4.174
Sprawdzenie:
- przepłynięcie pierwszych 100 kilometrów z prędkością 6 km/h zabiera 16,667 godzin,
- przepłynięcie drugich 100 kilometrów z prędkością 3,2 km/h zabiera 31,25 godzin.
- W sumie jest to 47,917 godzin, co oznacza 200km/47,917 godzin, czyli 4,17 km/h.
Miary położenia: średnia geometryczna
- Średnia geometryczna n liczb, to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu tych liczb
- Nie możliwa do wyliczenia na danych zawierających wartości ujemne lub zero
\[\bar{x}_G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\]
Miary położenia: średnia geometryczna
Oczekiwana długość życia w Polsce (lata 1997, 2002, 2007): 72.75, 74.67, 75.563
- Zmiana pomiędzy 1997 a 2002:
\[x_1 = \frac{74.67}{72.75} = 1.026392 \]
- Zmiana pomiędzy 2002 a 2007:
\[x_1 = \frac{75.563}{74.67} = 1.011959 \]
- Średni przyrost (średnia geometryczna):
\[\bar{x}_G = \sqrt{1.026392 * 1.011959} = 1.01915\]
Miary położenia: średnia geometryczna
Gdyby w tym przykładzie zastosować średnią arytmetyczną uzyskalibyśmy wynik:
\[\frac{(1.026392 + 1.011959)}{2} = 1.019176\]
Wynikałoby z tego (błędnie), że w roku 2007 oczekiwana długość życia w Polsce powinna wynosić:
\[72.75 * 1.019176 * 1.019176 = 75.56686\]
W rzeczywistości ta wartość wynosiła:
\[72.75 * 1.01915 * 1.01915 = 75.563\]
Miary położenia: średnia ważona
- Wartości, którym przypisano wyższe wagi ( \(w\) ) mają większy udział w określeniu średniej ważonej niż dane, którym przypisano niższe wagi
\[
\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}
\]
- Jeśli wszystkie wagi są równe, to wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.
- Wagi powinny być liczbami nieujemnymi.
- Można obliczać także inne średnie ważone, jak średnia ważona geometryczna i średnia ważona harmoniczna.
Miary położenia: miary pozycyjne
Miary pozycyjne to miary, na których wartość wpływają tylko wybrane obserwacje z próby uporządkowanej
![]()
Miary położenia: wartość modalna
Określana jako: wartość modalna, moda, dominanta, wartość najczęstsza
wartość cechy statystycznej, która w danym rozkładzie empirycznym występuje najczęściej
- wartość najczęściej występująca w zbiorze danych
Miary położenia: kwantyle
Kwantyle to wartości cechy, które dzielą analizowany zbiór danych na określone części pod względem liczby jednostek. Części te pozostają w stosunku do siebie w określonych proporcjach:
Kwartyle - podział na 4 części:
- Kwartyl pierwszy (Q1)
- Mediana - kwartyl drugi
- Kwartyl trzeci (Q3)
Decyle - podzial na 10 części
Percentyle - podział na 100 częsci
Miary położenia: kwartyle
Kwartyle - podział na 4 części:
- Kwartyl pierwszy (Q1) - 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu, a 75% równe bądź wyższe
- Mediana (Me, kwartyl drugi) - połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me
- Kwartyl trzeci (Q3) - 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi trzeciemu, a 25% równe bądź wyższe
Możliwości stostowania miar położenia
| Nominalna |
X |
|
|
| Porządkowa |
X |
X |
|
| Interwałowa |
X |
X |
X |
| Ilorazowa |
X? |
X |
X |
Na przykład, obliczanie średniej arytmetycznej z ocen (skala porządkowa) jest statystycznie niepoprawne.
Miary zmienności
Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) opisują rozrzut wartości cechy statystycznej w populacji wokół wartości przeciętnej.
Charakteryzują one stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy
![]()
Miary zmienności
![]()
Miary zmienności: wariancja
- Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych obserwacji od średniej arytmetycznej zbiorowości
\[\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}\]
- Wariancja nie jest wyrażona w jednostkach cechy, ale w jednostkach podniesionych do kwadratu, np. wariancja dla wzrostu może mieć jednostkę cm2
Miary zmienności: wariancja
Wariancja i odchylenie standardowe to wśród statystyk opisowych wyjątki - inne obliczenia wykonuje się w zależności od tego czy dysponujemy danymi z całej populacji, czy też tylko z próby.
W przypadku, gdy posiadamy tylko wartości próby należy użyć \(n - 1\) zamiast \(n\).
Wszystkie inne statystyki opisowe liczy się tak samo niezależnie czy dysponujemy danymi z całej populacji, czy też tylko z próby.
Miary zmienności: odchylenie standardowe
Określa, o ile średnio odchylają się wartości badanej cechy od średniej arytmetycznej.
Obok średniej jest jednym z najczęściej stosowanych parametrów statystycznych:
- jest obliczane ze wszystkich obserwacji w zbiorze danych
- im zbiór danych jest bardziej zróżnicowany tym większe odchylenie standardowe.
Małe odchylenie standardowe - wartości są blisko średniej.
Duże odchylenie standardowe - wartości są daleko od średniej.
Miary zmienności: odchylenie standardowe
- Obliczane jako pierwiastkek kwadratowy z wariancji
\[s = \sqrt{\sigma^2}\]
- Pozwala to na uzyskanie miary zmienności o jednostce zgodnej z mianem badanej cechy statystycznej
\[s = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2} = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n-1}}\]
Miary zmienności: odchylenie standardowe
Trzy scenariusze, w których średnie wynagrodzenie w firmie zatrudniającej 10 osób wynosi 5000 zł. Jaka będzie wartość odchylenia standardowego?
Scenariusz 1: Każdy pracowik zarabia 5000 zł
- Odchylenie standardowe: 0
Scenariusz 2: Jeden pracownik zarabia 500, 8 pracowików 1500 zł, i jeden 37500 zł
- Odchylenie standardowe: 11423.66 zł
Scenariusz 3: 5 pracowików zarabia 3000 zł i 5 pracowników zarabia 7000 zł
- Odchylenie standardowe: 2108.185 zł
Źródło: Blog statystyczny https://statystyczny.pl/srednio-na-jeza-czyli-srednia-arytmetyczna/
Miary zmienności: typowy obszar zmienności
Po obliczeniu odchylenia standardowego i średniej arytmetycznej, można również wyliczyć sobie tzw. typowy obszar zmienności:
\[\bar{x} - s < x_{typ} < \bar{x} + s\]
Miary zmienności: odchylenie standardowe
![]()
Powyższa relacja dotyczy tylko zmiennych o rozkładzie normalnym!
Miary zmienności: rozstęp
- Rozstęp lub zakres danych to najprostsza miara zmienności
- Jest to różnica między najwyższą i najniższą zaobserwowaną wartością cechy statystycznej
- Rozstęp jest podatny na wartości odstające
\[R = x_{max} - x_{min}\]
Miary zmienności: rozstęp kwartylowy
- Kwartyli można użyć również do wyznaczenia typowego obszaru zmienności (rozstępu kwartylowego) do którego należy 50% obserwacji
\[IQR = Q3 - Q1\]
Miary zmienności: odchylenie ćwiartkowe
Odchylenie standardowe jest najczęściej stosowane do opisania odchylenia wartości cechy od średniej arytmetycznej.
Natomiast odchylenie ćwiartkowe jest miarą zmienności najczęściej używaną w parze z medianą.
Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek pozostałej po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych.
Odchylenie ćwiartkowe (Q) jest połową różnicy między trzecim, a pierwszym kwartylem.
\[Q = \frac{(Q_3 - Q_1)}{2}\]
Miary zmienności: współczynniki zmienności
- Współczynnik zmienności jest ilorazem bezwzględnej miary zmienności cechy i średniej wartości tej cechy.
- W konstrukcji współczynnika zmienności można użyć zarówno miar klasycznych, jak i pozycyjnych.
- Współczynnik zmienności stosuje się zwykle, gdy chcemy ocenić zróżnicowanie kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy, ewentualnie tej samej zbiorowości pod względem kilku cech.
- Współczynnik zmienności jest wielkością niemianowaną. Wartości współczynników podaje się z reguły w procentach.
- Duże wartości współczynnika zmienności świadczą o zróżnicowaniu (niejednorodności zbiorowości).
Klasyczne współczynniki zmienności
Współczynnik zmienności odchylenia standardowego ( \(V_s\) ):
\[V_s = \frac{s}{\bar{x}}\] , gdy \(\bar{x} > 0\)
Pozycyjne współczynniki zmienności
Odchylenie ćwiartkowe
\[V_Q = \frac{Q}{Me}\]
, gdy \(Me > 0\)
oraz
\[V_{Q_1,Q_3}=\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}\]
Możliwości stostowania miar zmienności
| Nominalna |
|
|
|
| Porządkowa |
X |
|
|
| Interwałowa |
X |
X |
X? |
| Ilorazowa |
X |
X |
X |
Miary asymetrii i koncentracji
![]()
Miary asymetrii: współczynnik skośności
![]()
Asymetrię rozkładu określa się za pomocą współczynnika skośności.
- skośność = 0 - rozkład symetryczny
- skośność < 0 - rozkład asymetryczny lewostronnie (rozkład ma dłuższy lewy ogon)
- skośność > 0 - rozkład asymetryczny prawostronnie (rozkład ma dłuższy prawy ogon)
Miary koncentracji: kurtoza
Miary koncentracji opisują koncentrację wartości cechy wokół średniej. Jedną z miar koncentracji jest kurtoza.
![]()
K > 0 - Im wyższa kurtoza, tym bardziej wysmukła jest krzywa liczebności,a zatem większa koncentracja wokół średniej (leptokurtyczny).
K < 0 - rozkład bardziej spłaszczony niż rozkład normalny (platykurtyczny).
Asymetrię rozkładu określa się za pomocą współczynnika skośności.