library(ggplot2)
library(broom)

1 Założenia modelu

Założenia modelu dotyczą typu zależności (czy jest to zależność liniowa) oraz tzw. reszt z modelu. Reszty z modelu to różnica między wartością obserwowaną \(y\) oraz wartością oszacowaną z modelu \(\hat{y}\).

\[reszty = y - \hat{y}\]

  1. Liniowość - związek między zmiennymi x oraz y ma charakter liniowy
  2. Normalność - reszty (błędy) mają rozkład normalny, ze średnią 0
  3. Homoscedastyczność - wariancja reszt jest taka sama dla wszystkich obserwacji
  4. Niezależność - błędy są niezależne

Przed zastosowaniem modelu do przewidywania, konieczne jest sprawdzenie, czy te założenia są zachowane. Potencjalne problemy obejmują:

  • brak zależności liniowej między zmiennymi x oraz y

  • niestała wariancja reszt

  • występowanie wartości nietypowych:

    • wartości odstające zmiennej objaśnianej (y)
    • wartości odstające w zmiennych objaśniających (x)

Założenia modelu mogą być sprawdzone wykorzystując wykresy diagnostyczne, które na kilka sposóbów wizualizują reszty z modelu.

2 Wpływ wartości odstających na dopasowanie modelu.

Rysunek pokazuje jak zmieni się przebieg linii regresji oraz wartość współczynnika korelacji liniowej po wprowadzeniu do zbioru danych jednego odstającego punktu.

  • \(\color{blue}{\text{Kolorem niebieskim}}\) zaznaczono przykładowe wyniki pomiarów.

  • \(\color{green}{\text{Kolorem zielonym}}\) zaznaczono punkt odstający położony w przebiegu linii regresji.

    • W tym wypadku przebieg linii nie zmieni się znacząco - wzrośnie natomiast wyraźnie wartość współczynnika korelacji liniowej, ponieważ chmura punktów ulegnie “wydłużeniu”, tworząc elipsę rozciągniętą wzdłuż linii regresji.

  • \(\color{red}{\text{Kolorem czerwonym}}\) zaznaczono punkt odstający położony poza wyznaczoną linią regresji.

    • W tym wypadku przebieg linii zmieni się znaczącą a współczynnik korelacji spadnie. Punkty w tym wypadku bedą tworzyły chmurę punktów bardziej zbliżoną do okręgu. Tego typu punkty w analizie korelacji i regresji nazywamy punktami nietypowymi lub punktami wpływowymi.

2.1 Przykład

  • Rycina ilustruje zależność między miesięcznymi wartościami opadu na terenie otwartym oraz opadu podkoronowego. \(\color{blue}{\text{Niebieska linia}}\) wyznacza przebieg linii regresji, \(\color{red}{\text{kolorem czerwonym}}\) zaznaczono dodany do wykresu punkt odstający.

  • Każdy wykres zawiera:

    • równanie regresji liniowej,
    • współczynnik determinacji (R2)
    • współczynnik korelacji liniowej Pearsona (r)
    • poziom istotności dla współczynnika korelacji (p) - kolorem czerwonym zaznaczono współczynniki korelacji istotne statystycznie.

  • Pierwszy rząd wykresów został wykonany z uwzględnieniem wszystkich punktów pomiarowych. Kolorem czerwonym zaznaczono obserwacje odstające.

  • Drugi rząd przedstawia równania regresji oraz współczynnik korelacji bez uwzględnienia wartości odstających.

    • w roku 2008 i 2014 wartość współczynnika korelacji po usunięciu obserwacji odstającej znaczącą spadła.
    • w 2012 roku wartość współczynnika po usunięciu obserwacji odstającej wzrosła.
    • w roku 2013 usunięcie wartości odstającej nie ma wpływu na wynik.

Obserwacje odstające mogą mieć duży wpływ na wartość współczynnika korelacji liniowej oraz na przebieg linii regresji.

2.2 Identyfikacja wartości odstających

Wartości odstające można zidentyfikować wykorzystując wykresy diagnostyczne, a w szczególności wykres Residuals vs. Leverage.

3 Dane

set.seed(123)
n <- 1000      
x <- runif(n, min = 0, max = 100)

#poprawny model
y1 <- 3 + 0.1 * x + rnorm(n, sd = 3)

#zmienna wariancja
y2 <- 3 + 0.2 * x + (1 + x / 25) * rnorm(n, sd = 3)

#wartosci odstajace
#Dla 5 wybranych punktow z poprawnego modelu wartosc y została zmieniona (wymnożona przez 5). 
y3 <- y1
#sel <- sample(1:length(y3), 10)
sel <- sample(1:length(y3), 10)
y3[sel]<-  y3[sel]*50

#zaleznosc nieliniowa 
df <- read.csv("dane/dane_nieliniowe.csv")
y4 <- df$y
x4 <- 1:length(y4)

dat = as.data.frame(cbind(x, y1, y2, y3))

4 Wizualizacja zależności

Poniższe wykresy przedstawiają 4 zestawy danych:

  • przykład 1 (P1) - model liniowy spełniający założenia
  • przykład 2 (P2) - zbiór danych cechujący się niestałą wariancją (rozrzut wartości y rośnie wraz ze wzrostem wartości x)
  • przykład 3 (P3) - ilustruje wpływ danych odstających na przebieg linii regresji (do danych z przykładu 1 wprowadzono 10 odstających punktów)
  • przykład 4 (P4) - ilustruje dane cechujące się przebiegiem cyklicznym. .
p1 <- qplot(x, y1, ylab = "y", main = "P1: Poprawny przykład") + stat_smooth(method = "lm") + theme_classic()
p2 <- qplot(x, y2, ylab = "y", main = "P2: Niestała wariancja") + stat_smooth(method = "lm") + theme_classic()
p3 <- qplot(x, y3, ylab = "y", main = "P3: Wartości odstające") + stat_smooth(method = "lm") + theme_classic()
p4 <- qplot(x4, y4, ylab = "y", main = "P4: Nieliniowa zależność") + stat_smooth(method = "lm") + theme_classic()
gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3, p4, ncol = 2, nrow = 2)
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

library(ggpubr) #pozwala na dodanie współczynnika korelacji liniowej (R) oraz równania regresji. 
p1 <- ggscatter(dat, x = "x", y = "y1", 
          add = "reg.line",
          add.params = list(color = "blue", fill = "lightgray"),
          title = "P1: Poprawny przykład") + 
  stat_regline_equation(label.x = 0, label.y = 35) + 
  stat_cor(label.x=0, label.y=30)

p2 <- ggscatter(dat, x = "x", y = "y2", 
          add = "reg.line",
          add.params = list(color = "blue", fill = "lightgray"),
          title = "P2: Niestała wariancja") + 
  stat_regline_equation(label.x = 0, label.y = 55) + 
  stat_cor(label.x=0, label.y=45)

p3 <- ggscatter(dat, x = "x", y = "y3", 
          add = "reg.line",
          add.params = list(color = "blue", fill = "lightgray"),
          title = "P3: Wartości odstające") + 
  stat_regline_equation(label.x = 0, label.y = 1000) + 
  stat_cor(label.x=0, label.y=900)

p4 <- ggscatter(df, x = "x", y = "y", 
          add = "reg.line",
          add.params = list(color = "blue", fill = "lightgray"),
          title = "P4: Wartości odstające") + 
  stat_regline_equation(label.x = 0, label.y = 65) + 
  stat_cor(label.x=0, label.y=55)

gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3, p4, ncol = 2, nrow = 2)
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

  • Porównując wykres P1 oraz P3 widzimy, że wprowadzenie 10 punktów odstających w znacznym stopniu obniżyło korelację (z 0,68 do 0,25) Przebieg linii regresji nie zmienił się ze względu na dużą ilość punktów. Przy mmniejszej liczbie punktów, również uległby zmianie przebieg linii regresji.

  • Wykres P4 cechuje się najwyższym współczynnkiem korelacji (R = 0.9), mimo, że zmienna x i y nie wykazują zależności liniowej (dane mają przebieg cykliczny).

5 Budowa modelu

lm1 <- lm(y1 ~x, dat)
lm2 <- lm(y2 ~x, dat)
lm3 <- lm(y3 ~x, dat)

5.1 Wartości obserwowane a wartości wyliczone z modelu.

W idealnej sytuacji, wartości obserwowane byłyby równe wartością wyliczonym z modelu. W rzeczywistości nie zbudujemy takiego modelu, szukamy zatem modelu, dla którego wartości obserwowane oraz wartości wyliczone z modelu (fitted values) będą jak najbardziej podobne (a zatem reszty z modelu będą jak najbliższe 0).

Gdyby wartości obserowane równe były wartością wyliczonym z modelu to na wykresie rozrzutu punkty układałyby się wzdłuż przekątnej (czerwona linia na wykresach poniżej)

p1 <- qplot(lm1$model$y1, lm1$fitted.values, 
      xlim = c(-5, 25), ylim = c(-5, 25),
      xlab = "Wartości obserowane y", ylab ="Wartości z modelu (fitted)", main = "P1: Poprawny przykład") + geom_abline(color = "red") + theme_classic() 

p2 <- qplot(lm2$model$y2, lm2$fitted.values, 
      xlim = c(-20, 60), ylim = c(-20, 60),
      xlab = "Wartości obserowane y", ylab ="Wartości z modelu (fitted)", main = "P2: Niestała wariancja") + geom_abline(color = "red") + theme_classic() 

p3 <- qplot(lm3$model$y3, lm3$fitted.values, 
      xlim = c(-5, 250), ylim = c(-5, 250),
      xlab = "Wartości obserowane y", ylab ="Wartości z modelu (fitted)", main = "P3: Wartości odstające") + geom_abline(color = "red") + theme_classic() 

gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3, ncol = 2, nrow = 2)
## Warning: Removed 7 rows containing missing values (geom_point).

Uwaga! Fakt, że model spełnia założenia (liniowość, rozkład normalny reszt, stała wariancja) nie oznacza jeszcze, że będzie dobrze przewidywał wartości.

6 Analiza reszt - podstawowe informacje

Wykres przedstawia wykres rozrzutu dla wartości x oraz y.

  • Czarne punkty to wartości obserwowane.
  • Niebieską linią zaznaczono dopasowaną linię regresji (y~x).
  • Czerwone linie to reszty - różnica między wartością wyliczoną z modelu a obserwowaną (im dłuższa czerwona linia tym większa różnica między wartością obserwowaną a tą wyliczoną z modelu).
p1 <- ggplot(augment(lm1), aes(x, y1)) +
  geom_point() +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = .fitted), color = "red", size = 0.3) + 
  stat_smooth(method = lm, se = FALSE) +
  labs(title = "P1: Poprawny przykład") + 
  theme_classic()

p2 <- ggplot(augment(lm2), aes(x, y2)) +
  geom_point() +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = .fitted), color = "red", size = 0.3) + 
  stat_smooth(method = lm, se = FALSE) +
  labs(title = "P2: Niestała wariancja") + 
  theme_classic()

p3 <- ggplot(augment(lm3), aes(x, y3)) +
  geom_point() +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = .fitted), color = "red", size = 0.3) + 
  stat_smooth(method = lm, se = FALSE) +
  labs(title = "P3: Wartości odstające") + 
  theme_classic()


gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3, ncol = 2, nrow = 2)
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

Reszty z modelu to różnica między wartością obserwowaną \(y\) oraz wartością oszacowaną z modelu \(\hat{y}\).

\[reszty = y - \hat{y}\]

6.1 Potencjalne błędy modelu:

  • model niedoszacowuje wartości

    • wartość obserwowana \(y\) jest wyższa od wartości wyliczonej z modelu (\(\hat{y}\), fitted)
    • przykład: wartość obserwowana temperatury: 10C, wartość wyliczona z modelu 7C. Reszta z modelu: 10C-7C=3C. Model przewidział o 3 stopnie za niską temperaturę.
    • średnia wartość reszt dodatnia

  • model przeszacowuje wartości

    • wartość obserwowana \(y\) jest niższa od wartości wyliczonej z modelu (\(\hat{y}\), fitted)
    • przykład: wartość obserwowana temperatury: 10C, wartość wyliczona z modelu 12C. Reszta z modelu: 10C-12C=-2C. Model przewidział o 2 stopnie za wysoką temperaturę.
    • średnia wartość reszt ujemna

“Dobry model” to taki, który nie będzie regularnie przeszacowywał lub niedoszacowywał przewidywanych wartości. W “dobrym modelu” reszty dodatnie i ujemne będą się równoważyć - średnia reszt będzie zbliżona do 0 (model czasami przewidzi niższą wartość, czasami wyższą, ale w większości przypadków różnice między tym co obserwowane a tym co wyliczone z modelu będą oscylowały koło 0).

Funkcja summary zastosowana do obiektu modelu wyświetli podstawowe podsumowanie modelu zawierające m.in wartość współczynnika R2 oraz statystyki podstawowe reszt.

Model P1

summary(lm1)
## 
## Call:
## lm(formula = y1 ~ x, data = dat)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.5293 -2.1022  0.0407  1.9673 10.2217 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 3.122830   0.189975   16.44   <2e-16 ***
## x           0.098250   0.003308   29.70   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.006 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4692, Adjusted R-squared:  0.4687 
## F-statistic: 882.2 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

Model P2

summary(lm2)
## 
## Call:
## lm(formula = y2 ~ x, data = dat)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -31.154  -5.085  -0.042   5.182  35.520 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.67003    0.59328   6.186 8.99e-10 ***
## x            0.18301    0.01033  17.716  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.386 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2392, Adjusted R-squared:  0.2385 
## F-statistic: 313.9 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

Model P3

summary(lm3)
## 
## Call:
## lm(formula = y3 ~ x, data = dat)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -12.48  -6.35  -3.90  -1.53 777.30 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  4.22840    2.74920   1.538  0.12435   
## x            0.15557    0.04787   3.250  0.00119 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 43.5 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.01047,    Adjusted R-squared:  0.009481 
## F-statistic: 10.56 on 1 and 998 DF,  p-value: 0.001193
p1 <- qplot(lm1$residuals, geom = "histogram", main = "P1: Poprawny przykład", xlab = "Reszty (residuals)") + theme_classic()
p2 <- qplot(lm2$residuals, geom = "histogram", main = "P2: Niestała wariancja", xlab = "Reszty (residuals)") + theme_classic()
p3 <- qplot(lm3$residuals, geom = "histogram", main = "P3: Wartości odstające", xlab = "Reszty (residuals)") + theme_classic()

gridExtra::grid.arrange(p1, p2, p3, ncol = 2, nrow = 2)
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Reszty powinny mieć rozkład normalny. Wprowadzenie kilku odstających punktów (P3) spowodowało, że rozkład reszt zmienił się z normalnego (P1) na rozkład skośny.

7 Wykresy diagnostyczne

Do analizy reszt stosuje się wykresy diagnostyczne. Wykresy diagnostyczne można wyświetlić używając funkcji plot() lub funkcji autoplot() z pakietu ggfortify w celu wyświetlenia wykresów zgodnych ze stylizacją pakietu ggplot2. Wykresy diagnostyczne to kilka sposóbów wizualizacji reszt, które pozwalają m.in na identyfikację wartości odstających oraz spradzenie rozkładu reszt.

par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1)

library(ggfortify)
autoplot(lm1) + theme_classic()

Przypomnijmy założenia jakie powinien spełniać model przy regresji liniowej:

  1. Liniowość - związek między zmiennymi x oraz y ma charakter liniowy
  2. Normalność - reszty (błędy) mają rozkład normalny, ze średnią 0
  3. Homoscedastyczność - wariancja reszt jest taka sama dla wszystkich obserwacji
  4. Niezależność - błędy są niezależne

4 podstawowe wykresy diagnostyczne

Poniższy rysunek pokazuje 4 podstawowe wykresy dla “dobrego” modelu (tj. spełniającego założenia) oraz “złego modelu” (nie spełniającego założeń). Przykład pochodzi ze strony https://data.library.virginia.edu/diagnostic-plots/

  • Residuals vs Fitted (Reszty vs. wartości dopasowane przez model)

    • używany do sprawdzenia czy jest liniowa zależność między zmiennymi (Założenie 1. Liniowość).
    • Na osi poziomej (x) przedstawione są wartości dopasowane przez model \(\hat{y_i}\) (fitted values), a na osi pionowej (y) wartości residuów-reszt (residuals) \(\hat{\varepsilon_i} = y_i - \hat{y_i}\).
    • Linia czerwona o przebiegu poziomym dla y = 0 wskazuje na zależność liniową.
    • \(\color{green}{\text{"Dobry"}}\): linia czerwona jest niemalże pozioma.
    • \(\color{red}{\text{"Zły"}}\): Średnie wartości reszt układają się w parabolę. Oznacza to, że w danych istniała nieliniowa zależność, która nie została wytłumaczona przez model.

  • Normal Q-Q (wykres kwantylowy dla rozkładu normalnego)

    • używany do sprawdzenia czy reszty mają rozkład normalny (Założenie 2. Normalność)
    • punkty na wykresie powinne układać się po przekątnej przerywanej linii
    • odstępstwa od tej linii sugerują brak normalności oraz upoważniają do zastosowania transformacji nieliniowej badanych zmiennych
    • dla dużych prób nie należy się przejmować niewielkimi odstępstwem od normalności residuów
    • \(\color{green}{\text{"Dobry"}}\): Punkty układają się wzdłuż szarej przerywanej linii z niewielkimi odchyleniami przy niskich i wysokich wartościach. Możemy spodziewać się rozkładu zbliżonego do normalnego. Punkt oznaczony jako 38 znacząco odstaje - należy się tej wartości przyjrzeć, jako potencjalnemu błędowi w danych.
    • \(\color{red}{\text{"Zły"}}\): Rozkład odbiega od rozkładu normalnego

  • Scale-Location

    • używany do sprawdzenia, czy wariancja reszt jest taka sama dla wszystkich obserwacji (Założenie 3. Homoscedastyczność)
    • na osi poziomej (x) przedstawione są wartości dopasowane przez model \(\hat{y_i}\) (fitted values), a na osi pionowej (y) pierwiastek ze standaryzowanych residuów-reszt (residuals) \(\hat{\varepsilon_i} = y_i - \hat{y_i}\). Standaryzowane reszty to wartości reszt podzielone przez ich błąd standardowy (estimated standard error).
    • czerwona pozioma linia wraz z równomiernie rozłożonymi punktami na całej długości x jest dobrym wskaźnikiem, że założenie jest spełnione.
    • \(\color{green}{\text{"Dobry"}}\): Punkty równimiernie rozłożone (czerwona linia jest prawie pozioma).
    • \(\color{red}{\text{"Zły"}}\): Widać zależność - im wyższe wartości oszczacowane przez model, tym większy rozrzut punktów (wariancja nie jest stała). Ponieważ rozrzut danych zwiększa się ze wzrostem wartości na osi x, czerwona linia jest nachylona.

  • Residuals vs Leverage

    • używany do identyfikacji obserwacji nietypowych - tj. odstających wartości, które mogą mieć wpływ na przebieg linii regresji. Nie każda wartość odstająca jest nietypowa (wpływowa); niektóre wartości odstające nie zmienią przebiegu linii regresji.
    • Punkty znajdujące się w prawym lub lewym górnym rogu wykresu mogą mieć wpływ na przebieg linii regresji. Trzeba się takim punktom bliżej przyjrzeć oraz ewentualnie wyeliminować je z obliczeń.
    • Na osi pionowej przedstawione są standaryzowane reszty a na osi poziomej tzw. siły dźwigni \(h_i\) (miary wpływu tej obserwacji na ocenę współczynników modelu regresji, ang. levarege).
    • Standaryzowane reszty to wartości reszt podzielone przez ich błąd standardowy (estimated standard error). Standaryzowane reszty mogą być interpretowane jako liczba błędów standardowych od linii regresji. Punkt, który ma wartośc standaryzowanych reszt > 3 potencjalnie może być wartością odstającą (trzeba się takiej obserwacji bliżej przyjrzeć)
    • Siła dźwigni określa jaki wpływ na ocenę współczynników modelu regresji ma obserwacja \(X_i\), czyli jak bardzo różnią się oceny współczynników dla modelu z tą obserwacją i dla modelu bez tej obserwacji.
    • Obserwacje nietypowe identyfikuje się używając tzw. odległości Cooka (Cook distance). Przyjmuje się, że obserwacja będzie miała duży wpływ na model jeśli przekroczy wartość 4/(n - p - 1), gdzie n to liczba obserwacji w zbiorze danych, a p to liczba predyktorów (zmiennych objaśniających).
    • \(\color{green}{\text{"Dobry"}}\): Brak nietypowych punktów (czerwona przerywana linia praktycznie nie widoczna)
    • \(\color{red}{\text{"Zły"}}\): Punkt 49 znajduje się na zewnątrz czerwonych przerywanychl linii - jest to punkt wpływowy, który wpłynie na przebieg linii regresji.

W/w wykresy pokazują także 3 najbardziej odstające punkty w danych (argument id.n pozwala na zwiększenie liczby identyfikowanych punktów)- mają one etykietę wskzującą na numer wiersza w zbiorze danych. Mogą one potencjalnie powodować problemy, dlatego należy się im bliżej przyjrzeć.

Obok 4 podstawowych wykresów diagnostycznych, można wyświetlić jeszcze dodatkowy wykres diagnostyczny (plot(model, which = 4)) pokazujący wartość odległości Cooka dla każdej obserwacji.

Funkcja broom::augment(obiekt_modelu) pozwala na utworzenie ramki danych zawierającej kilka wskaźników przydatnych przy ocenie dopasowania modelu. Wskaźniki te są używane do konstrukcji wykresów diagnostycznych.

broom::augment(lm1)
## # A tibble: 1,000 x 8
##       y1     x .fitted .resid    .hat .sigma    .cooksd .std.resid
##    <dbl> <dbl>   <dbl>  <dbl>   <dbl>  <dbl>      <dbl>      <dbl>
##  1  4.07 28.8     5.95 -1.88  0.00153   3.01 0.000300      -0.625 
##  2  7.90 78.8    10.9  -2.97  0.00203   3.01 0.000990      -0.988 
##  3 10.2  40.9     7.14  3.03  0.00109   3.01 0.000557       1.01  
##  4 14.1  88.3    11.8   2.28  0.00280   3.01 0.000814       0.761 
##  5  7.88 94.0    12.4  -4.49  0.00338   3.00 0.00379       -1.49  
##  6  3.17  4.56    3.57 -0.400 0.00347   3.01 0.0000310     -0.133 
##  7  5.59 52.8     8.31 -2.72  0.00101   3.01 0.000415      -0.905 
##  8  5.71 89.2    11.9  -6.18  0.00289   3.00 0.00614       -2.06  
##  9  8.96 55.1     8.54  0.424 0.00104   3.01 0.0000103      0.141 
## 10  7.33 45.7     7.61 -0.281 0.00102   3.01 0.00000445    -0.0934
## # … with 990 more rows

7.1 Wykresy diagnostyczne dla danych P1, P2, P3.

Poniżej przedstawiono wykres diagnostyczne dla 3 przypadków: P1 (Poprawny przykład), P2 (Niestałe wariancje), P3 (Wartości odstające). Czego możemy się dowiedzieć z tych wykresów?

Residuals vs Fitted

#Parametr which wskazuje, który wykres ma być wyświetlony. 
par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1, which=1)
plot(lm2, which=1)
plot(lm3, which=1)

Normal Q-Q

par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1, which=2)
plot(lm2, which=2)
plot(lm3, which=2)

Scale-Location

par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1, which=3)
plot(lm2, which=3)
plot(lm3, which=3)

Residuals vs Leverage

par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1, which=5)
plot(lm2, which=5)
plot(lm3, which=5)

Cook distance

par(mfrow = c(2, 2))
plot(lm1, which=4)
plot(lm2, which=4)
plot(lm3, which=4)